1. Apa yang di maksud dengan struktur aljabar ?
Jawab :
Struktur Aljabar adalah ilmu yang
mempelajari suatu himpunan dengan satu atau lebih operasi biner pada system
aljabar tersebut.
2. Sebutkan macam-macam operasi struktur aljabar!
Jawab:
semigrup,
grup, abel, monoid.
3. Apa saja syarat untuk menentukan semigrup?
Jawab:
harus memenuhi syarat dengan
menentukan suatu operasi tersebut tertutup dan asosiatif.
4. Buktikan bahwa operasi * termasuk dalam monoid abel dengan
a*b = ½ (a+b) untuk himpunan bilangan asli.
Jawab:
·
Tertutup
Misal : a = 1
b = 2
a*b =
½ (a+b)
= ½(1+2)
=½ (3)
= 3/2
karna 3/2 bukan termasuk bilangan asli dan
tidak tertutup , maka operasi * tidak termasuk dalam monoid abel
5. Apakah (z,*) termasuk dalam semi grup abel jika a*b=2ab
untuk himpungan bilangan bulat
Jawab:
·
Tertutup
Misal :
a=1 b=2
a*b = 2ab
= 2.1.2
= 4
Angka 4 termasuk bilangan bulat maka sifatnya tertutup
·
Asosiatif
Misal a =2 b = 4 c =6
(a*b)*c = a*(b*c)
(a*b)*c = (2ab)*c => (2ab)
kita anggap p
= p*c
=2pc
=2(2ab)c => p di ganti dengan (2ab)
=2(2.2.4)6
=2(16)6
=192
a*(b*c) = a*(2bc)
=a*q => (2bc) kita anggap q
=2aq
=2a(2bc) => q diganti dengan (2bc)
=2.2(2.4.6)
=4(48)
=192
bersifat asosiatif
·
Komutatif
a*b = b*a
a*b = 2ab
= 2.2.4
= 16
b*a = 2ba
= 2.4.2
= 16
Kesimpulan : Himpunan z merupakan semi grup abel
6. Buktikan bahwa himpunan G termasuk
dalam grup abel. Jika, G = himpunan semua bilangan bulat dengan operasi, a * b
= a – b.
Jawab:
G = himpunan semua bilangan bulat dengan operasi, ab = a – b.
Kita bisa mengatakan bahwa operasi yang diberikan adalah pengurangan bilangan
bulat. Hal pertama yang kita lakukan adalah memeriksa satu persatu apa yang
terjadi dalam G dengan operasi yang diberikan apakah sesuai defenisi grup atau
tidak. Jika kita menemukan kejanggalan dalam pemeriksaan, maka pembuktian bahwa
G membentuk grup jangan dilakukan, cukup memberi suatu contoh kontra.
G = Bilangan Bulat
a * b = a – b
> Pembuktian Tertutup
Misalkan
:
a = 4
; b =
2
; c = 6
a * b = a – b
= 4 – 2
= 2
Maka, himpunan G Tertutup
> Pembuktian
Asosiatif
( a * b ) * c = a * ( b * c )
( a - b ) – c = a – ( b –
c)
P
p
p -
c = a - p
( a - b ) – c = a – ( b –
c)
Jadi, sifat asosiatif tidak berlaku untuk pengurangan.
Misalkan
:
( a – b ) – c = ( 4 – 2 ) – 6
= -4
a – ( b – c ) = 4 – (2 – 6)
= 8
Maka, himpunan G bukan merupakan asosiatif
Setelah diperiksa ternyata G tidak bersifat asosiatif.
Kesimpulan : Himpunan G tidak
termasuk Grup Abel
7.
Tentukan apakah
himpunan G = himpunan bilangan bulat positif. Dengan operasi a*b = a x b. Bersifat grup abel !
g = bilangan bulat positif
a * b = a x b
> Pembuktian Tertutup
Misalkan
:
a = 2
; b =
1
; c = 3
a * b = a x b
= 2 x 1
= 2
Maka, himpunan G tertutup.
> Pembuktian
Asosiatif
( a * b ) * c = a * ( b * c )
( a x b ) x c = a x ( b x
c )
z
r
z x c
= a x r
( a x b ) x c = a x ( b x c )
abc =
abc
( a x b ) x c = ( 2 x 1 ) x 3
= 6
a x ( b x c ) = 2 x (1 x 3)
= 6
Maka, himpunan G termasuk Asosiatif
> Pembuktian
Identitas
a * e = a
2 * e = 2
e = 1
> Pembuktian Invers
a * a-1 = e
2 x a-1
= 1
a-1
= ½
Maka, himpunan G bukan merupakan Invers
Perhatikan bahwa invers perkalian dari 2 adalah ½, tetapi ½
bukan unsur di G positif. Ini melanggar defenisi.
·
Kesimpulan Himpunan
G bukan termasuk grup abel
8. Apakah himpunan {E,* } termasuk kedalam semigrup jika a * b = a + b + a.b, untuk himpunan bilangan bulat
Jawab :
a * b
= a + b + a.b
E = bilangan Asli
→ misal a = 6, b
= 3
a * b = a + b + a.b
=
6 + 3 + 6.3
=
9 + 18
= 27 →
Tertutup
Asosiatif
(a * b) * c
= a * (b * c)
(a
+ b) + a.b = a +
(b + a.b)
Misal a = 1, b = 2, c = 3
(a * b) * c = (a + b + a.b) * c → a + b + a.b = h, c
= j
h * j = h + j + h.j
= a + b + a.b + c + (a + b + a.b) c
= a + b + a.b + ac + bc + abc
= a + b + c + a.b + ac + bc + abc
= 1 + 2 + 3 + 2 + 3 + 6 + 6
= 23
a * (b * c) = a * (b + c + b.c) → b +
c + b.c
= l, a = k
k * l = k + l + k.l
= a + b + c + b.c + a
(b + c + b.c)
= a + b + c + bc + ab + ac
+ abc
= 1 + 2 + 3 + 6 + 2 +
3 + 6
= 23
Jadi,
operasi a * b = a + b + a.b termasuk semi grup
9.
Apakah Himpunan Q = {4,3} termasuk Semigrup, jika a*b = b.a
Jawab :
Semigrup
→ 1. Tertutup
2. Asossiatif
Pembuktian
tertutup
a = 4 , b = 3
a * b = 3.4
= 12 → Terutup
Pembuktian Assosiatif
(a * b) * c = a * (b * c)
(a*b)*c a*(b*c)
=(b.a)*c =a*(c.b)
=r*c =a*s
=c.r =s.a
=c(b.a) =(c.b).a
=3(3.4) =(3.3)4
=36 =36
Jadi operasi a * b = b.a termasuk semi grup
10.
Misalkan G = {-1, 1} adalah suatu himpunan. Apakah G
merupakan suatu grup terhadap penjumlahan (G, +).
Jawab:
Daftar Cayley G = {-1, 1} terhadap (G, +) sebagai berikut
Berdasarkan daftar Cayley dari tabel di
atas, operasi penjumlahan himpunan G = {-1, 1} menghasilkan {-2, 0, 2}.
Dikarenakan {-2, 0, 2} adalah bukan merupakan anggota dari himpunan G = {-1,
1}, maka G = {-1, 1} tidak tertutup terhadap operasi penjumlahan.
Jadi, (G, +) bukan suatu grup.
Link Download Soal dan Pembahasan Struktur Aljabar Matematika Informatik 3
