Friday, November 11, 2016

SOAL STRUKTUR ALJABAR MATEMATIKA INFORMATIKA 3



1.       Apa yang di maksud dengan struktur aljabar ?
Jawab :
Struktur Aljabar adalah ilmu yang mempelajari suatu himpunan dengan satu atau lebih operasi biner pada system aljabar tersebut.
2.       Sebutkan macam-macam operasi struktur aljabar!
Jawab:
 semigrup, grup, abel, monoid.

3.       Apa saja syarat untuk menentukan semigrup?
Jawab:
harus memenuhi syarat dengan menentukan suatu operasi tersebut tertutup dan asosiatif.
4.       Buktikan bahwa operasi * termasuk dalam monoid abel dengan a*b = ½ (a+b) untuk himpunan bilangan asli.
Jawab:
·         Tertutup
Misal  : a = 1       b = 2
      a*b = ½ (a+b)
              = ½(1+2)
              =½ (3)
             = 3/2
karna 3/2 bukan termasuk bilangan asli dan tidak tertutup , maka operasi * tidak termasuk dalam monoid abel

5.       Apakah (z,*) termasuk dalam semi grup abel jika a*b=2ab untuk himpungan bilangan bulat
Jawab:
·         Tertutup
Misal :   a=1         b=2
                                       a*b = 2ab
                                              = 2.1.2
                                              = 4 
                                             Angka 4 termasuk bilangan bulat maka sifatnya tertutup
·         Asosiatif
Misal a =2 b = 4 c =6
(a*b)*c = a*(b*c)
(a*b)*c = (2ab)*c => (2ab) kita anggap p
                = p*c
                =2pc
                =2(2ab)c => p di ganti dengan (2ab)
                =2(2.2.4)6
                =2(16)6
                =192
a*(b*c) = a*(2bc)
                =a*q => (2bc) kita anggap q
                =2aq
                =2a(2bc) => q diganti dengan (2bc)
                =2.2(2.4.6)
                =4(48)
                =192                      bersifat asosiatif 

·         Komutatif
a*b = b*a
a*b = 2ab
       = 2.2.4
       = 16
b*a = 2ba
       = 2.4.2
       = 16

Kesimpulan : Himpunan z merupakan semi grup abel
               

6.       Buktikan bahwa  himpunan G termasuk dalam grup abel. Jika, G = himpunan semua bilangan bulat dengan operasi, a * b = a – b.

Jawab:
G = himpunan semua bilangan bulat dengan operasi, ab = a – b. Kita bisa mengatakan bahwa operasi yang diberikan adalah pengurangan bilangan bulat. Hal pertama yang kita lakukan adalah memeriksa satu persatu apa yang terjadi dalam G dengan operasi yang diberikan apakah sesuai defenisi grup atau tidak. Jika kita menemukan kejanggalan dalam pemeriksaan, maka pembuktian bahwa G membentuk grup jangan dilakukan, cukup memberi suatu contoh kontra.

G = Bilangan Bulat
a * b = a – b
>  Pembuktian Tertutup
Misalkan          :
a = 4    ;           b = 2    ;           c = 6
a * b    = a – b
            = 4 – 2
            = 2
Maka, himpunan G Tertutup

>  Pembuktian Asosiatif
( a * b ) * c      = a * ( b * c )
( a - b ) – c       = a – ( b – c)
     P                               p
  p - c               =     a - p
( a - b ) – c       = a – ( b – c)
Jadi, sifat asosiatif tidak berlaku untuk pengurangan.
Misalkan          :
( a – b ) – c      = ( 4 – 2 ) – 6
                        = -4
a – ( b – c )      = 4 – (2 – 6)
                        = 8
Maka, himpunan G bukan merupakan asosiatif

Setelah diperiksa ternyata G tidak bersifat asosiatif.
Kesimpulan     : Himpunan G tidak termasuk Grup Abel

7.      Tentukan apakah himpunan G = himpunan bilangan bulat positif. Dengan operasi a*b = a x b. Bersifat grup abel !
g = bilangan bulat positif
a * b = a x b

>  Pembuktian Tertutup
Misalkan          :
a = 2    ;           b = 1    ;           c = 3
a * b    = a x b
            = 2 x 1
            = 2
Maka, himpunan G tertutup.

>  Pembuktian Asosiatif
( a * b ) * c      = a * ( b * c )
( a x b ) x c      = a x ( b x c )
     z                                r
   z x c              =       a x r
( a x b ) x c      = a x ( b x c )
abc       = abc
( a x b ) x c      = ( 2 x 1 ) x 3
                        = 6
a x ( b x c )      = 2 x (1 x 3)
                        = 6
Maka, himpunan G termasuk Asosiatif

>  Pembuktian Identitas
a * e    = a
2 * e    = 2
      e    = 1

>  Pembuktian Invers
a * a-1            = e
2 x a-1            = 1
      a-1            = ½
Maka, himpunan G bukan merupakan Invers
Perhatikan bahwa invers perkalian dari 2 adalah ½, tetapi ½ bukan unsur di G positif. Ini melanggar defenisi.
·         Kesimpulan Himpunan G bukan termasuk grup abel
  
8.     Apakah himpunan {E,* } termasuk kedalam semigrup jika a * b =  a + b + a.b, untuk himpunan bilangan bulat



Jawab :

a * b =  a + b + a.b
E      = bilangan Asli
misal    a = 6,                 b = 3
a * b   = a + b + a.b
          =  6 + 3   +    6.3
          =    9      +    18
          =        27                Tertutup
Asosiatif
(a * b) * c          = a * (b * c)
(a + b) + a.b     =  a + (b + a.b)
Misal a = 1, b = 2, c = 3

(a * b) * c       = (a + b + a.b) * c                     a + b + a.b = h,          c = j
h * j                = h + j + h.j
                       = a + b + a.b + c + (a + b + a.b) c
           = a + b + a.b + ac + bc + abc
           = a + b + c + a.b + ac + bc + abc
           = 1 + 2 + 3 + 2 + 3 + 6 + 6
           = 23


a * (b * c)          = a * (b + c + b.c)                     b + c + b.c = l,          a = k
k * l                   = k + l + k.l
                          = a + b + c + b.c + a (b + c + b.c)
                          = a + b + c + bc + ab + ac + abc                  
                          = 1 + 2 + 3 + 6 + 2 + 3 + 6
                          = 23
Jadi, operasi a * b =  a + b + a.b termasuk semi grup
9.     Apakah Himpunan Q = {4,3} termasuk Semigrup, jika a*b = b.a
Jawab :
Semigrup 1. Tertutup
                       2. Asossiatif
Pembuktian tertutup
a = 4 , b = 3
a * b = 3.4
          = 12 Terutup
Pembuktian Assosiatif
(a * b) * c = a * (b * c)
(a*b)*c                                a*(b*c)
=(b.a)*c                               =a*(c.b)
=r*c                                     =a*s
=c.r                                      =s.a       
=c(b.a)                                 =(c.b).a
=3(3.4)                                 =(3.3)4
=36                                         =36
Jadi operasi a * b = b.a termasuk semi grup



10.      Misalkan G = {-1, 1} adalah suatu himpunan. Apakah G merupakan suatu grup terhadap penjumlahan (G, +).

Jawab:

Daftar Cayley G = {-1, 1} terhadap (G, +) sebagai berikut

+
-1
1
-1
-2
0
1
0
2
Berdasarkan daftar Cayley dari tabel di atas, operasi penjumlahan himpunan G = {-1, 1} menghasilkan {-2, 0, 2}. Dikarenakan {-2, 0, 2} adalah bukan merupakan anggota dari himpunan G = {-1, 1}, maka G = {-1, 1} tidak tertutup terhadap operasi penjumlahan.
Jadi, (G, +) bukan suatu grup. 


Link Download Soal dan Pembahasan Struktur Aljabar Matematika Informatik 3